设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
第1题
令Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令
证明:S和T都是Mn(F)的子空间,并且Mn(F)=S+T,S∩T={O}。
第3题
设V和W都是数域F上的向量空间,且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基:α1,···,αs,αs+1,...,αn,使得α1,···,αs是Ker(σ)的一个基。证明:(i)σ(αs+1),...,σ(αn)组成Im(σ)的一个基;
(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。
第4题
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
第5题
第6题
设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使
2)如果,那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;
3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使
第7题
设f(α,β)是V上对称的或反称的双线性函数,α,β是V中两个向量,如果(α,β)=0,则称α,β正交。K是V的一个子空间,令试证,如果。
第8题
(1)设A.B分别是数城K上的矩阵,证明:
(2) 设A,8分别是实数域上n阶矩阵.证明:矩阵A与矩阵B的相似关系不随数域扩大而改变.
第9题
第10题
令A是数域F上一个n阶反对称矩阵,即满足条件AT=-A。
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:
(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;
(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。