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[主观题]
若函数ϕ在|z|≤1内解析且满足不等式|ϕ|<1,则方程z=ϕ(z)在|z|<1内只有一个根。
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第1题
证明:如果函数f(z)=u+iv在区域D内解析,并满足下列条件之一,那么f(z)是常数。
(1)f(z)是恒取实值;
(2)在D内解析;
(3)|f(z)|在D内是一个常数;
(4)argf(z)在D内是一个常数;
(5)au+bv=c,其中a,b与c为不全为零的实常数;
(6)v=u2。
第4题
设函数f(z)在区域r0<|z|<∞内解析,C表示圆|z|=r(0<r0<r).我们把积分
定义作为函数f(z)在无穷远点的留数,记作Res(f,∞),在这里积分中的C-表示积分是沿着C按顺时针方向取的。试证明:如果a-1表示f(z)在r0<|z|<+∞的罗朗展式中1/z的系数,那末Res(f,∞)=-a-1
第6题
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像关于x=1对称,且f(1)=4,f(0)=3.
(I)求二次函数的解析式;
(1I)若,(x)>;3,求对应x的取值范围.
第7题
若f(z)在分段光滑闭曲线c所围区域内除点z=a外解析,且a是f(z)的n阶极点,求证:当(z-a)nf(z)=g(z)时,
第8题
第10题
设x,y和z是3个串,且满足xz和yz.试证明:
(1)若|x|≤y|,则xy.
(2)若|x|≥|y|,则yx.
(3)若|x|=|y|,则xy.