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[主观题]

令{α₁，α₂，···，α_n}是欧氏空间V的一组线性无关的向量，{β₁，β₂，···，β_n}是

由这组向量通过正交化方法所得的正交组。证明，这两个向量组的格拉姆行列式相等，即

令{α1，α2，···，αn}是欧氏空间V的一组线性无关的向量，{β1，β2，···，βn}是由这组

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发布时间：2022-07-23

更多“令{α1，α2，···，αn}是欧氏空间V的一组线性无关的向量，{β1，β2，···，βn}是”相关的问题

第1题

令γ₁，γ₂，···，γ_n是n维欧氏空间V的一个规范正交基，又令K叫作一个n一方体.如果每一x≇

令γ₁，γ₂，···，γ_n是n维欧氏空间V的一个规范正交基，又令

K叫作一个n一方体.如果每一x_i都等于0或1，ξ就叫作K的一个顶点。K的顶点间一切可能的距离是多少？

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第2题

1)设α，β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量，证明：存在一镜面反射使2)证明：n维欧氏空间V中任一

1)设α，β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量，证明：存在一镜面反射使

2)证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。

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第3题

设α₁，α₂，···，α_m和β₁，β₂，···，β_m是n维欧氏空间V中两个向量组，证明存在

一正交变换

使

的充分必要条件为

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第4题

设V是一n维欧氏空间，α≠0是V中一固定向量，证明：1)V₁={x|（x，α)=0，x∈V}是V的一子空间;2)V₁的维数等于n-1。

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第5题

设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β)，对V中确定的向量α，定义V上一个函数α*：α*（β)=（α，β)。1)证明：α*是V上线性函数;2)证明：V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射。（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。)

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第6题

1)证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的;2)利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。

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第7题

设A=（a_ij)是一个n级正定矩阵，而在Rⁿ中定义内积（α，β)为（α，β)=αAβ'。1)证明：在这个

设A=(a_ij)是一个n级正定矩阵，而在Rⁿ中定义内积(α，β)为(α，β)=αAβ'。

1)证明：在这个定义之下，Rⁿ成一欧氏空间;

2)求单位向量(0，0，..，1)的度量矩阵;

3)具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。

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第8题

设{α₁，α₂，···，α_n}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令证明

设{α₁，α₂，···，α_n}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令

证明

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第9题

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明如果σ满足下列三个条件中的任意两个，那么它必须满足第三个：(i)σ是正交变换;(ii)σ是对称变换;(iii)σ²=τ是单位变换。

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明如果σ满足下列三个条件中的任意两个，那么它必须满足第三个：（i)σ是正交变换;（ii)σ是对称变换;（iii)σ²=τ是单位变换。

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第10题

设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换。令λ₁，λ₂，···，λ_t是σ的全部本

征值。证明，存在V的线性变换σ₁，σ₂，···，σ_t，使得

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