文件MATHPNL.RAW包含了密歇根各个学区在1992~1998年的面板数据。它是学区层次上的数据，与帕普

克(Papke，2005)所用的学校层次数据相似。这个方程中我们关注的因变量是math4，即一个学区四年级学生通过数学标准化考试的百分数。主要的解释变量是rexpp，即学区平均每个学生的真实支出，以1997年的美元计。支出变量以对数形式出现。

(i)考虑静态非观测效应模型

其中，enrol_it表示学区总注册学生人数，lunch_it表示学区中学生有资格享受学校午餐计划的百分数。(因此lunch_it是学区贫穷率的一个相当好的度量指标。)证明：若平均每个学生的真实支出提高10%，则math4_it约改变β₁/10个百分点。

(ii)利用一阶差分估计第(i)部分中的模型。最简单的方法就是在一阶差分方程中包含一个截距项和1994~1998年度虚拟变量。解释支出变量的系数。

(iii)现在，在模型中添加支出变量的一阶滞后，并用一阶差分重新估计。注意你又失去了一年的数据，所以你只能用始于1994年的变化。讨论即期和滞后支出变量的系数和显著性。

(iv)求第(iii)部分中一阶差分回归的异方差-稳健标准误。支出变量的这些标准误与第(iii)部分相比如何？

(v)现在，求对异方差性和序列相关都保持稳健的标准误。这对滞后支出变量的显著性有何影响？

(vi)通过进行一个AR(1)序列相关检验，验证差分误差r_it=Δu_it含有负序列相关。

(vii)基于充分稳健的联合检验，模型中有必要包含学生注册人数和午餐项目变量吗？