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[主观题]

设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换。令λ₁，λ₂，···，λ_t是σ的全部本

征值。证明，存在V的线性变换σ₁，σ₂，···，σ_t，使得

设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换。令λ1，λ2，···，λt是σ的全部本征值。

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发布时间：2022-10-20

更多“设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换。令λ1，λ2，···，λt是σ的全部本”相关的问题

第1题

设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义证明：f是V上一个双线性函

设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义证明：f是V上一个双线性函数，f是不是对称的？

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第2题

设V和W都是数域F上的向量空间，且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基：α_1⌘

设V和W都是数域F上的向量空间，且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基：α₁，···，α_s，α_s+1，...，α_n，使得α₁，···，α_s是Ker(σ)的一个基。证明：(i)σ(α_s+1)，...，σ(α_n)组成Im(σ)的一个基；

(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。

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第3题

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：1)在P[x]中有一次数≤n²的多项式f（x)，使2)

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：

1)在P[x]中有一次数≤n²的多项式f(x)，使

2)如果，那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;

3)可逆的充分必要条件是，有一常数项不为零的多项式f(x)使

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第4题

设{α₁，α₂，···，α_n}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令证明

设{α₁，α₂，···，α_n}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令

证明

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第5题

设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β)，对V中确定的向量α，定义V上一个函数α*：α*（β)=（α，β)。1)证明：α*是V上线性函数;2)证明：V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射。（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。)

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第6题

设V是一n维欧氏空间，α≠0是V中一固定向量，证明：1)V₁={x|（x，α)=0，x∈V}是V的一子空间;2)V₁的维数等于n-1。

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第7题

设f(α，β)是V上对称的或反称的双线性函数，α，β是V中两个向量，如果(α，β)=0，则称α，β正交。再设K是V的一个真子空间，证明：对ξ∈K，必有0≠η∈K+L(ξ)使f(η，α)=0对所有α∈K都成立。

设f（α，β)是V上对称的或反称的双线性函数，α，β是V中两个向量，如果（α，β)=0，则称α，β正交。再设K是V的一个真子空间，证明：对ξ∈K，必有0≠η∈K+L（ξ)使f（η，α)=0对所有α∈K都成立。

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第8题

令M_n（F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令证明：S和T都是M_n（F)的子空间，并且M

令M_n(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令

证明：S和T都是M_n(F)的子空间，并且M_n(F)=S+T，S∩T={O}。

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第9题

令V是复数C上的一个n维向量空间，σ，τ是V的线性变换，且στ=τσ。（i)证明σ的每一本征子空间都在τ之下不变;（ii)σ与τ在V中有一公共本征向量。

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第10题

证明：设β₁，β₂，...，β_m为n维线性空间V中线性相关的向量组，但其中任意m-1个向量皆线

性无关。设有m个数

。则或者b₁=b₂=...=b_m=0，或者b₁，b₂，...，b_m皆不为零。在后者的情形，若有另一组数c₁，c₂，...，c_m使

。

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