求下列曲线族满足的微分方程: (1)x=Ct+C2 (2)x(t)=C1etcost+C2etsint. (3)(t-C1)2+(x—C2)2=1.
求下列曲线族满足的微分方程: (1)x=Ct+C2 (2)x(t)=C1etcost+C2etsint. (3)(t-C1)2+(x—C2)2=1. 其中C,C1,C2是参数.
求下列曲线族满足的微分方程: (1)x=Ct+C2 (2)x(t)=C1etcost+C2etsint. (3)(t-C1)2+(x—C2)2=1. 其中C,C1,C2是参数.
第1题
求下列微分方程的解:
(1)y"-2y'+3y=0的通解;
(2)4y"+y=0满足初始条件:y|x=0=1,y'|x=0=-1的特解.
第3题
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方; (2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分; (3)曲线上点P(x,y)处的切线与y轴的交点为Q,线段PQ的长度为2,且曲线通过点(2,0); (4)曲线上点M(x,y)处的切线与x轴、Y轴的交点依次为P与Q,线段PM被点Q平分,且曲线通过点(3,1).
第5题
曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项。
试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程:
(提示:过点(x,y)的切线的横截距和纵截距分别为和y-xy'。)
第7题
在下列微分方程的通解中,求出满足初始条件的特解:
(1)x2-y2=C, y|x=1=5;
(2)y=(C1+C2x)e-x, y|x=0=4,y'|x=0=2.
第8题
设函数f(x),g(x)满足条件:f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),f(0)=0,g(x)≠0.设,求由曲线y=F(x)(x>0),直线y=1和x=0所围图形的面积.
第10题
求下列非齐次线性微分方程的通解或在给定初始条件下的特解: (1)y〞-2yˊ+2y=x2; (2)y〞-3yˊ=-6x+2; (3)y〞+a2y=8cosbx,a,b≠0,a2≠b2; (4)2y〞+yˊ-y=3ex; (5)y〞+4yˊ+4y=8(x+e2x); (6)y〞+y=excosx,y(π/2)=0,yˊ(π/2)=0; (7)y〞-(α+β)yˊ+αβy=aeαx,其中α,β,a为常数; (8)y〞-6yˊ+25y=2sinx+3cosx, y(0)=1/2,yˊ(0)=1.
第11题
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上大于零,并满足
进一步,假设曲线y=f(x)与直线x=1和y=0所围的图形S的面积为2.
(1)求函数f(x);
(2)当a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小?